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初中數(shù)學(xué)矩形、菱形、正方形的5大考點(diǎn)及題型匯總

日期：2021-09-30 13:09 點(diǎn)擊：

一、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)
 
1.矩形的性質(zhì)
①具有平行四邊形的一切性質(zhì)；
②矩形的四個(gè)角都是直角；
③矩形的對(duì)角線相等；
④矩形是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸；
⑤直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
 
2.菱形的性質(zhì)
①具有平行四邊形的一切性質(zhì)；
②菱形的四條邊都相等；
③菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；
④菱形是軸對(duì)稱圖形，每條對(duì)角線所在的直線都是它的對(duì)稱軸；
⑤菱形的面積＝底×高＝對(duì)角線乘積的一半。
 
3.正方形的性質(zhì)
正方形具有平行四邊形，矩形，菱形的一切性質(zhì)
①邊：四邊相等，對(duì)邊平行；
②角：四個(gè)角都是直角；
③對(duì)角線：互相平分；相等；且垂直；每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，即正方形的對(duì)角線與邊的夾角為45度；
④正方形是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸。
 
例1 矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，則∠BDE的度數(shù)為  （   ）
 
A．360        B．90       
 
C．270        D．180
 
圖片
 
例2 如圖，矩形ABCD中，AE⊥BD于點(diǎn)E，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，BE：ED＝1：3，AB＝6cm，求AC的長(zhǎng)。   
 
例3 如圖， O是矩形ABCD 對(duì)角線的交點(diǎn)， AE平分 ∠BAD，∠AOD=120° ，求∠AEO 的度數(shù)。
 
圖片
 
例4 菱形的周長(zhǎng)為40cm，兩鄰角的比為1:2，則較短對(duì)角線的長(zhǎng)________ 。
 
例5 如圖，在正方形ABCD中，G是BC上任意一點(diǎn)，連接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究線段AF、BF、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
 
 
 
 
二、矩形、菱形、正方形的判定
 
1.矩形的判定
①有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形；
②對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；
③有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；
④還有對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形。
 
2.菱形的判定方法
①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
②對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
③四條邊都相等四邊形是菱形；
④對(duì)角線垂直平分的四邊形是菱形。
 
3.正方形的判定
①菱形+矩形的一條特征；
②菱形+矩形的一條特征；
③平行四邊形+一個(gè)直角+一組鄰邊相等。
 
說(shuō)明一個(gè)四邊形是正方形的一般思路是：先判斷它是矩形，在判斷這個(gè)矩形也是菱形；或先判斷它是菱形，再判斷這個(gè)菱形也是矩形。
 
例1. 如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A、D分別作BC與AB的平行線，并交于點(diǎn)E，連續(xù)EC、AD。
求證：四邊形ADCE是矩形。
                 
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例2.如圖，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，ED⊥BC，DF//AB. 
 
求證：AD與EF互相垂直平分。 
                      
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例3.已知如圖，在△ABC,∠ACB=900，AD是角平分線，點(diǎn)E、F分別在AB、AD上，且AE=AC，EF∥BC。
 
求證：四邊形CDEF是菱形。
                                           
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三、矩形、菱形、正方形
與函數(shù)綜合題
 
1.利用矩形、菱形、正方形的知識(shí)解決函數(shù)問(wèn)題；
2.利用函數(shù)知識(shí)解決矩形、菱形、正方形的問(wèn)題；
 
例1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=（k＞0，x＞0）的圖象上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，3）．
 
（1）求k的值；
 
（2）若將菱形ABCD沿x軸正方向平移，當(dāng)菱形的頂點(diǎn)D落在函數(shù)y=（k＞0，x＞0）的圖象上時(shí)，求菱形ABCD沿x軸正方向平移的距離。
 
圖片
 
例2.如圖，點(diǎn)B、C分別在兩條直線y=2x和y=kx上，點(diǎn)A、D是x軸上兩點(diǎn)，已知四邊形ABCD是正方形，則k值為______． 
        
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例3 已知點(diǎn)A、B分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C、D是某個(gè)函數(shù)圖象上的點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD（A、B、C、D各點(diǎn)依次排列）為正方形時(shí)，稱這個(gè)正方形為此函數(shù)圖象的伴侶正方形．例如：如圖，正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個(gè)伴侶正方形．
 
（1）若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+1，求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長(zhǎng)；
 
（2）若某函數(shù)是反比例函數(shù)，它的圖象的伴侶正方形為ABCD，點(diǎn)D（2，m）（m＜2）在反比例函數(shù)圖象上，求m的值及反比例函數(shù)解析式。               

 

四、矩形、正方形的翻折

 

1.從翻折中找出對(duì)稱軸，利用對(duì)稱性找相等關(guān)系。
2.利用相等關(guān)系建立方程解決問(wèn)題。
 
例1 如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE，延長(zhǎng)BG交CD于點(diǎn)F．若CF=1，F(xiàn)D=2，則BC的長(zhǎng)是(   )
 
 A．3√6   B．2√6   
 
C．2√5   D．2√3
 
 
 
例2 如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，點(diǎn)E為BC上一動(dòng)點(diǎn)，把△ABE沿AE折疊，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在∠ADC的角平分線上時(shí)，則點(diǎn)B′到BC的距離為（　?。?/span>
 
A.1或2  B. 2或3   
 
C.3或4   D. 4或5 
                        
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例3 如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，連接BE，將△ABE沿BE對(duì)折，A點(diǎn)恰好落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)F處。延長(zhǎng)AF，與CD邊交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)FE，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，則下列說(shuō)法：①△BFH為等腰直角三角形；②△ADF≌△FHA； ③∠DFG=60°；④DE=2-√2；⑤S△AEF=S△DFG．其中正確的說(shuō)法有（　） 
 
A．1個(gè)　　B．2個(gè)　　
 
C．3個(gè)　D．4個(gè)
 
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例4 四邊形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的兩邊AM、AN分別交CB、DC與點(diǎn)M、N，連接MN，作AH⊥MN，垂足為點(diǎn)H。
 
(1)如圖1，猜想AH與AB有什么數(shù)量關(guān)系？并證明。
 
(2)如圖2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，且BD=2，CD=3，求AD的長(zhǎng)。
 
圖片
 
 
五、綜合運(yùn)用
 
1.計(jì)算。利用矩形、菱形、正方形中的等腰三角形和直角三角形進(jìn)行計(jì)算。
 
2.證明。利用矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定，結(jié)合全等三角形、等腰三角形、等邊三角形的知識(shí)展開證明。
 
3.探究。利用矩形、菱形、正方形等知識(shí)展開探究。
 
例1 在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD與邊長(zhǎng)為2的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上．
 
(1)小明發(fā)現(xiàn)DG⊥BE，請(qǐng)你幫他說(shuō)明理由．
 
(2)如圖2，小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B恰好落在線段DG上時(shí)，請(qǐng)你幫他求出此時(shí)BE的長(zhǎng)．
 
(3)如圖3，小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，線段DG與線段BE將相交，交點(diǎn)為H，寫出△GHE與△BHD面積之和的最大值，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由。 
 
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例2 現(xiàn)有兩個(gè)具有一個(gè)公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形△ADE和△ABC，其中∠ACB和∠AED=90°，且AC=BC，AE=DE，CF⊥AB于F，M為線段BD中點(diǎn)，連接CM，EM.
 
(1)如圖1，當(dāng)A、B、D在同一條直線上時(shí)，若AC=1，AE=2，求FM的長(zhǎng)度；
 
(2)如圖1，當(dāng)A、B、D在同一條直線上時(shí)，求證：CM=EM；
 
(3)如圖2，當(dāng)A、B、D在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄緾M，EM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)先給出結(jié)論，然后證明。
 
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